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La frontière efficiente Quantalys


Harry Markowitz a théorisé la frontière efficiente dans un article fondamental paru en 1952, à l’origine de la théorie moderne de portefeuille. Au sein d’un univers d’investissements à risque, Markowitz s’est attaché à la façon de construire les meilleures combinaisons d’investissements. Par convention, nous parlerons à partir de maintenant de classes d’actif pour désigner des investissements présentant des caractéristiques communes en matière de performance et de risque : les actions sont une classe d’actif, les obligations en sont une autre. Au sein des actions, on peut segmenter plus finement en Actions Etats-Unis, Actions Europe, Actions Asie, Actions Pays Emergents, etc.

Fondements théoriques de la frontière efficiente

Il est possible d’assigner des rendements et des volatilités attendues à chaque classe d’actif, ainsi que des corrélations entre deux classes d’actif. Par exemple, on attend des Actions France un rendement annuel moyen de 7% pendant les 8 années à venir, avec une volatilité de 14%. Le même exercice est répété pour chacune des classes d’actif utilisées. Enfin, on assigne une corrélation attendue aux paires de classes d’actif : par exemple, la corrélation attendue entre les Actions France et les Actions Zone Euro est de 0,92.

A partir de ces estimations, on peut également calculer le rendement et le risque attendus de toutes combinaisons des différentes classes d’actif accessibles dans la frontière efficiente. Pour le rendement, le calcul est simple : il s’agit simplement de la moyenne pondérée des rendements attendus de chacune des classes d’actif. Par exemple, pour un portefeuille composé à 50% d’actions Europe dont le rendement attendu est de 8% et à 50% d’obligations Europe dont le rendement attendu est de 4%, le rendement attendu du portefeuille est de 6% (0,5 x 8% + 0,5 x 4%). Pour la volatilité, le calcul est un peu plus compliqué puisqu’il fait intervenir la corrélation entre les classes d’actif : dès lors que la corrélation des paires de classes d’actif est inférieure à 1, le risque global du portefeuille est inférieur à la moyenne pondérée du risque de chacune des classes d’actif qui le compose : c’est une des grandes vertus de la diversification que de réduire le risque global.

Pour tracer la frontière, on calcule ensuite toutes les combinaisons possibles des classes d’actif utilisées, et l’on ne retient que les combinaisons optimales : est optimale une combinaison pour laquelle, à risque attendu donné (mesuré par la volatilité), il n’existe aucune autre combinaison offrant un rendement attendu supérieur ; ou, à rendement donné, il n’existe aucune autre combinaison offrant un risque attendu inférieur. Ces combinaisons optimales tracent une courbe dans un espace à deux dimensions (risque attendu et rendement attendu) appelée Frontière. En effet, il n’est pas possible mathématiquement de trouver un point au-dessus de cette frontière. Tout portefeuille se trouvant sur cette courbe est dit efficient, tout portefeuille se trouvant sous cette courbe n’est pas efficient, car on peut trouver sur la frontière un portefeuille qui lui est supérieur : parce qu’il offre soit un rendement attendu supérieur à risque égal, soit un risque inférieur à rendement égal. En filigrane, le postulat de base est qu’un investisseur préfère moins de risque à rendement équivalent et plus de rendement à risque équivalent.

La frontière efficiente Quantalys

Quantalys a construit deux jeux de frontière efficiente : l’une pour les comptes-titres (ci-après frontière classique), l’autre pour les contrats d’assurance vie (ci-après frontière assurance vie). 9 classes d’actif sont utilisées : Monétaire, Supports en euro, Obligations Europe, Obligations Monde, Actions France, Actions Europe, Actions Etats-Unis, Actions Pacifique et Actions Pays Emergents. Pour la frontière assurance vie, le support en euro se substitue au monétaire. Nous avons utilisé les rendements et risques attendus ci-dessous.

Frontière classique

 RendementVolatilité
Monétaire1,00 %0,46 %
Oblig. euro court terme1,30 %1,30 %
Oblig. euro Secteur privé1,92 %3,51 %
Obligations Europe2,30 %3,92 %
Oblig. Etats-Unis3,80 %10,22 %
Oblig. Japon2,40 %13,17 %
Oblig. Marchés émergents4,96 %10,96 %
Oblig. Haut Rendement5,08 %11,12 %
Obligations Monde3,10 %7,16 %
Actions France7,77 %17,67 %
Actions Europe7,94 %15,72 %
Actions Etats-Unis8,22 %15,68 %
Actions Pacifique7,31 %16,40 %
Actions Emergentes8,94 %21,29 %
Actions Monde7,93 %14,86 %
Performance absolue4,70 %8,65 %
Flexibles prudents3,28 %5,65 %
Flexibles4,97 %9,28 %
Mat. prem. physiques5,08 %21,80 %
Act. Biotech9,80 %27,90 %
Act. Consommation5,85 %13,01 %
Act. Finance7,93 %18,59 %
Act. Environnement6,51 %14,76 %
Act. Immobilier7,62 %17,75 %
Act. Industrie7,24 %16,72 %
Act. En./Mat. Prem.8,24 %19,42 %
Act. Santé6,04 %13,51 %
Act. Serv. Coll.5,70 %12,60 %
Act. Techno9,63 %25,84 %
Act. Telecom7,78 %18,17 %
Act. Or9,37 %25,12 %
Act. Bear-7,94 %15,72 %
OPCI3,60 %6,00 %
SCPI5,90 %8,00 %


Frontière assurance vie

Nous avons tenu compte des frais de gestion supplémentaires auxquels est soumis l’investisseur dans l’enveloppe de l’assurance vie. Nous avons choisi de diminuer les rendements attendus de 0,8% pour les classes d’actifs couvertes par les unités de compte. Quant au support en euro, nous lui avons assigné un rendement attendu de 1,7%, valeur moyenne pour les 5 prochaines années : certains supports en euro feront mieux, d’autres feront moins bien. Par convention, nous avons affecté un risque nul au support en euro.

 RendementVolatilité
Monétaire0,20 %0,46 %
Support en Euro1,70 %0,00 %
Oblig. euro court terme0,50 %1,30 %
Oblig. Secteur privé1,92 %3,51 %
Obligations Europe1,50 %3,92 %
Oblig. Etats-Unis3,80 %10,22 %
Oblig. Japon2,40 %13,17 %
Oblig. Marchés émergents4,16 %10,96 %
Oblig. Haut Rendement4,28 %11,12 %
Obligations Monde2,30 %7,16 %
Actions France6,97 %17,67 %
Actions Europe7,14 %15,72 %
Actions Etats-Unis7,42 %15,68 %
Actions Pacifique6,51 %16,40 %
Actions Emergentes8,14 %21,29 %
Actions Monde7,13 %14,86 %
Performance absolue3,90 %8,65 %
Flexibles prudents2,48 %5,65 %
Flexibles4,17 %9,28 %
Mat. prem. physiques4,28 %21,80 %
Act. Biotech9,00 %27,90 %
Act. Consommation5,05 %13,01 %
Act. Finance7,13 %18,59 %
Act. Environnement5,71 %14,76 %
Act. Immobilier6,82 %17,75 %
Act. Industrie6,44 %16,72 %
Act. En./Mat. Prem./Or7,44 %19,42 %
Act. Santé5,24 %13,51 %
Act. Serv. Coll.4,90 %12,60 %
Act. Techno8,83 %25,84 %
Act. Telecom6,98 %18,17 %
Act. Or8,57 %25,12 %
Act. Bear-8,74 %15,72 %
OPCI2,80 %6,00 %
Immobilier Physique5,10 %8,00 %


Nous avons recalculé la frontière efficiente composée de 100 points en tenant compte de ces contraintes et avons choisi sur celle-ci 20 portefeuilles équidistants en risque après avoir préalablement défini une zone « utile » de la frontière en ayant enlevé les zones extrêmes à droite et à gauche de celle-ci. Ces portefeuilles ont ensuite été retravaillés afin qu’ils soient utilisables par le plus grand nombre des investisseurs et nous avons pour cela appliqué plusieurs modifications.

La première a été d’arrondir les pourcentages pour chaque classe d’actif.

La deuxième a été de modifier les portefeuilles afin de ne pas avoir de classe d’actif inférieure à 3% du total, pour éviter d’avoir des montants trop faibles pour certains portefeuilles à couvrir avec un fonds (notamment à cause du montant minimal d’investissement du fonds dans certaines enveloppes de type compte-titres).

Après prise en compte de tous ces paramètres, voici les 20 portefeuilles des 2 frontières Quantalys.

Portefeuilles de la frontière classique :

 MonétaireOblig. EuropeOblig. MondeAct. FranceAct. EuropeAct. Etats-UnisAct. PacifiqueAct. Emergentes
P190 %10 %0 %0 %0 %0 %0 %0 %
P274 %18 %4 %0 %4 %0 %0 %0 %
P363 %25 %4 %0 %5 %3 %0 %0 %
P451 %32 %5 %3 %5 %4 %0 %0 %
P538 %40 %5 %3 %6 %5 %3 %0 %
P626 %45 %8 %4 %7 %6 %4 %0 %
P714 %52 %10 %5 %7 %8 %4 %0 %
P87 %52 %12 %6 %9 %10 %4 %0 %
P93 %50 %13 %7 %10 %12 %5 %0 %
P100 %46 %15 %8 %12 %14 %5 %0 %
P110 %36 %19 %9 %13 %15 %5 %3 %
P120 %28 %22 %10 %14 %18 %5 %3 %
P130 %18 %26 %11 %15 %21 %6 %3 %
P140 %9 %30 %12 %16 %24 %6 %3 %
P150 %3 %30 %13 %17 %26 %7 %4 %
P160 %0 %26 %15 %18 %28 %8 %5 %
P170 %0 %19 %16 %19 %32 %8 %6 %
P180 %0 %11 %18 %21 %35 %9 %6 %
P190 %0 %5 %19 %22 %38 %9 %7 %
P200 %0 %0 %20 %25 %35 %10 %10 %

Frontière assurance vie :
 Support en EuroOblig. EuropeOblig. MondeAct. FranceAct. EuropeAct. Etats-UnisAct. PacifiqueAct. Emergentes
P180 %20 %0 %0 %0 %0 %0 %0 %
P270 %23 %0 %2 %3 %2 %0 %0 %
P368 %21 %0 %4 %3 %4 %0 %0 %
P465 %16 %4 %4 %4 %5 %2 %0 %
P559 %15 %6 %7 %4 %6 %3 %0 %
P654 %14 %7 %9 %5 %7 %4 %0 %
P749 %13 %8 %10 %6 %9 %5 %0 %
P843 %13 %8 %11 %8 %11 %6 %0 %
P937 %11 %9 %12 %10 %13 %8 %0 %
P1032 %10 %9 %13 %11 %15 %8 %2 %
P1126 %9 %10 %13 %13 %17 %9 %3 %
P1220 %8 %12 %14 %15 %19 %9 %3 %
P1315 %6 %14 %14 %16 %21 %10 %4 %
P149 %5 %15 %15 %18 %23 %10 %5 %
P155 %4 %16 %15 %20 %24 %10 %6 %
P163 %3 %14 %14 %23 %26 %10 %7 %
P170 %3 %12 %13 %25 %28 %11 %8 %
P180 %0 %10 %12 %26 %31 %11 %10 %
P190 %0 %5 %11 %28 %32 %12 %12 %
P200 %0 %0 %10 %30 %35 %10 %15 %

Les utilisateurs de nos outils de diagnostic et de proposition deviendront rapidement familiers des frontières efficientes de Quantalys : en voici une représentation graphique.

Sous le graphique de la frontière (sur lequel le portefeuille analysé est matérialisé par le point rouge), vous accédez à l’allocation d’actif du point retenu (ici le portefeuille 7) et à une analyse approfondie de celle-ci.

Sur la partie haute de l’image, un graphique représentant la répartition dans les 8 classes d’actif de la frontière : le portefeuille 7 de la frontière comporte 59% d’obligations Europe, 21% d’obligations Monde, 9% d’actions France, 7% d’actions Europe et 4% d’actions Etats-Unis. Son rendement annuel attendu est de 5,31% et son risque (mesuré par la volatilité annualisée des rendements) de 4,61%.

La performance attendue à l’issue de la période d’investissement (dans l’exemple ci-dessus 4 ans) est également analysée. Il s’agit d’une analyse à 95%, c’est-à-dire qu’elle décrit un comportement statistique correspondant à 95% des observations quand celles-ci sont distribuées normalement : l’espérance de gain de cette allocation est de 22,52%, le gain minimal en fin de période est de 3,21% et la perte maximum au cours de 3 ans est de -3,56%. En d’autre termes cela signifie que dans seulement les 5% de scénarios les plus pessimistes ce portefeuille aura une perte supérieure à -3,56% pendant la période et que dans les autres 95% de scénarios sa perte maximale sur la période sera inférieure. Cela signifie aussi que le portefeuille a une chance sur deux de donner un rendement supérieur à 22,52% au bout des 4 ans. Cette approche permet à l’utilisateur de juger si l’investissement proposé est raisonnablement compatible ou non avec ses attentes et ses objectifs.

Vous remarquerez que cette partie est interactive : si vous cliquez sur un autre point de la frontière, les données se mettent à jour automatiquement. Si vous saisissez une nouvelle valeur dans une des cases Espérance de gain, Perte maximale à 4 ans ou Perte maximale au cours des 4 ans, toutes les données sont recalculées, et le point de la frontière le plus proche pour satisfaire la condition que vous avez saisie est sélectionné. Imaginons que vous ne vouliez pas courir un risque de perte durant les 3 ans de votre investissement : remplacez -3,56 par 0 dans la case Perte maximale au cours des 3 ans, cliquez sur l'icône Rafraîchir, c’est le point 1 qui est maintenant sélectionné, car la perte maximale est cours des 3 ans est de -0,29%, qui est la valeur de la frontière la plus proche de votre choix. Inversement, si vous visez une performance de 30% à l’issue des 4 ans, remplacez 22,52% par 30% dans la case Espérance de gain à 4 ans et cliquez sur l'icône Rafraîchir. C’est le point 13 qui est maintenant sélectionné, avec une espérance de gain à 4 ans de 29,84%, mais un risque nettement supérieur, puisque la perte maximum au bout de 4 ans est de -9,13%, et la perte maximum au cours des 3 ans de -11,48%. Cet outil vous permet de visualiser un des postulats de base de la finance : le risque augmente avec l’espérance de rendement et inversement.
samedi 27 mai 2017
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